關(guān)于分析力學(xué)的基礎(chǔ)與展望
關(guān)鍵詞：變分原理 非完整力學(xué) birkhoff 系統(tǒng) 對(duì)稱性
摘要：本文從分析約束力學(xué)系統(tǒng)的“欠定”問(wèn)題開(kāi)始,介紹分析力學(xué)的基本變分原理和三類運(yùn)動(dòng)微分方程,并分析了分析力學(xué)具有普適性之緣由.對(duì)非完整約束力學(xué)系統(tǒng),著重分析其動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題、幾何結(jié)構(gòu)和重點(diǎn)發(fā)展方向,同時(shí)又簡(jiǎn)要介紹了Birkhoff系統(tǒng)所具有的一般辛結(jié)構(gòu)特征和研究意義,以及需要重點(diǎn)解決的問(wèn)題.文中對(duì)力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性和運(yùn)動(dòng)微分方程的對(duì)稱性作了較為詳細(xì)的論述,并列舉了相應(yīng)實(shí)例說(shuō)明兩種對(duì)稱性與守恒量之間的關(guān)系.在幾何力學(xué)部分,重點(diǎn)介紹了分析力學(xué)的辛幾何結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性約化理論,包括辛流形的Darboux Moser Weinstein局部正則結(jié)構(gòu)、整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其對(duì)量子力學(xué)的影響、Lie群與Lie代數(shù)的伴隨表示和余伴隨表示、動(dòng)量映射、Cartan辛約化、Marsden Weinstein約化等.文中最后論述了完整與非完整力學(xué)系統(tǒng)可積性問(wèn)題的研究方法和成果,指出了非完整力學(xué)系統(tǒng)現(xiàn)有可積性方法的局限性.
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